# HOẠT ĐỘNG TRONG TUẦN

Depth functions of symbolic powers of homogeneous ideals
 Báo cáo viên: Ngô Việt Trung (Viện Toán học)Thời gian: 9h, Thứ tư, ngày 24/1/2018Địa điểm: Phòng Semina Tầng 6, Nhà A6, Viện Toán học, 18 Hoàng Quốc Việt, Hà NộiTóm tắt: We investigate the behavior of the function \$depth R/I^{(t)}\$, \$t ge 1\$, where \$I^{(t)}\$ is the \$t\$-th symbolic power of a homogeneous ideal \$I\$ in a polynomial ring \$R\$. Our first result shows that if \$I\$ is an arbitrary squarefree monomial ideal, the function \$depth R/I^{(t)}\$ is almost non-increasing in the sense that \$depth R/I^{(s)} ge depth R/I^{(t)}\$ for all \$s ge 1\$ and \$t in E(s)\$, where\$\$E(s) = {t in NN|Â  t = c(s-1)+r text{for} c ge 1, 1 le r le s-1, r le c}\$\$(e.g. \$depth R/I ge depth R/I^{(t)}\$ for \$t ge 2\$, \$depth R/I^{(2)} ge depth R/I^{(t)}\$ for \$t ge 3\$, \$depth R/I^{(3)} ge depth R/I^{(t)}\$ for \$t ge 5\$, \$depth R/I^{(4)} ge depth R/I^{(t)}\$ for \$t = 7,8\$ or \$t ge 10\$, etc.) We also show that there exist squarefree monomial ideals \$I\$ such that \$depth R/I^{(s)} < depth R/I^{(t)}\$ if \$t otin E(s)\$.If \$I\$ is an arbitrary monomial ideal, we know that the function \$depth R/I^{(t)}\$ is asymptotically periodic (i.e. periodic for \$t gg 0\$). However, it was not clear whether this function is always convergent. We show that if \$I^{(t)}\$ is integrally closed for \$t gg 0\$ (e.g. if \$I\$ is squarefree), then the function \$depth R/I^{(t)}\$ is convergent with \$lim_{t to infty}depth R/I^{(t)} = liminf_{t to infty}depth R/I^{(t)}.\$ On the other hand, we are able to construct examples of monomial ideals for which the function \$depth R/I^{(t)}\$ is notÂ  convergent. Our last result shows that for any asymptotically periodic positive numerical function \$phi(t)\$, there exist a polynomial ring \$R\$ and a homogeneous ideal \$I\$ such that \$depth R/I^{(t)} = phi(t)\$ for all \$t ge 1\$. It is not known whether there exists any function \$depth R/I^{(t)}\$ which is not asymptotically periodic at all.

### Tin tức nổi bật

 01/07/22, Hội nghị, hội thảo:Trường hè quốc tế “International Graduate Summer School 2022" 06/07/22, Hội nghị, hội thảo:Một số vấn đề trong Phương trình đạo hàm riêng và Giải tích phức 06/07/22, Hội nghị, hội thảo:WORKSHOP ON RANDOM STRUCTURES AND RELATED TOPICS 22/07/22, Bài giảng viện:Hamilton-Jacobi equations -- An introduction and some recent progress in the homogenization theory 24/07/22, Hội nghị, hội thảo:Hội thảo LÝ THUYẾT VÀNH VÀ TỔ HỢP (RING THEORY AND COMBINATORICS) 17/08/22, Hội nghị, hội thảo:International Conference on Differential Equations and Applications