|
Nội dung Chương trình
Trường hè Toán học 2012 |
|
Các bài toán về đồng qui và thẳng hàng Thầy: Hạ Vũ Anh Trong hình học phẳng, vấn đề đồng qui và thẳng hàng có lẽ là một vấn đề được quan tâm nhiều nhất. Bài giảng trình bày các kết quả cơ bản về đồng qui và thẳng hàng cũng như các kĩ thuật chứng minh kinh điển về đồng qui và thẳng hàng. Bài giảng được trình bày thông qua các bài toán điển hình trên chủ đề này và được dựa theo các bài giảng của tác giả cho các lớp tập huấn đội tuyển Olympic các cấp. Thầy: Nguyễn Minh Hà. Bài giảng tập trung vào vấn đề hướng trong hình học. Cụ thể, bài giảng đề cập đến các khái niệm độ dài đại số và góc định hướng và các ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán trong hình học phẳng. Một cách ngắn gọn, định hướng có thể coi như một phương pháp đại số hóa các khái niệm hình học và do đó độ dài đại số và góc định hướng là một công cụ tốt để xây dựng các lời giải không phụ thuộc vào hình vẽ. Bài giảng trình bày một số nội dung của hai cuốn sách của tác giả sẽ được ra mắt năm 2013 về cùng chủ đề.
Một số kiến thức cơ bản về
đa thức Thầy: Phùng Hồ Hải. Bài giảng nhằm hệ thống hóa lại các kiến thức cơ bản của đa thức và các mối liên hệ giữa chúng: - Đa thức như một lớp hàm số đặc biệt. Với cách nhìn giải tích này chúng ta cần chú ý tới đồ thị của hàm số, đánh giá tiệm cận, các điểm cực trị địa phương, điểm uốn và mối liên hệ tới sự tồn tại nghiệm, đạo hàm đa thức... - Đa thức (với hệ số thực, phức hay hệ số hữu tỷ) trong các quan hệ chia hết, đồng dư, phép nội suy. Đây là các tính chất đại số của đa thức. Dưới cách nhìn đại số, đa thức là một dãy các hệ số của nó. Từ đó ta có thể mở rộng khái niệm đa thức bằng cách mở rộng tập giá trị của hệ số, chẳng hạn đa thức hệ số nguyên, hệ số là các lớp đồng dư, đa thức nhiều biến... - Đa thức với hệ số nguyên và đa thức giá trị nguyên là một lớp quan trọng, có liên quan nhiều tới số học. Các kiến thức ở phần trên sẽ giúp ích nhiều cho việc giải quyết các bài toán ở đây. Một số phương pháp giải toán
số học sơ cấp Thầy: Hà Duy Hưng. Lý thuyết số có một mối liên hệ gần gũi với nhiều lĩnh vực toán học khác nhau như đại số, giải tích, hình học, thậm chí cả tô pô (ví dụ một chứng minh rất hay của Erdos về sự vô hạn của các số nguyên tố dựa trên tô pô). Chính vì vậy, các chứng minh số học thường được dựa trên nhiều ý tưởng và nhiều phương pháp khác nhau. Bài giảng đề cập đến một số khái niệm cơ bản trong lý thuyết số sơ cấp như số mũ – một khái niệm quan trọng trong việc hình thành các số p-adic – cấp của một số, định lý Lagrange và các ứng dụng trong bài toán chia hết, hệ thặng dư, nghịch đảo của một số, … và các ứng dụng thú vị trong giải toán số học, đặc biệt trong lý thuyết chia hết và đồng dư. Bài giảng được dựa trên các chuẩn bị của tác giả cho các buổi chuyên đề và tập huấn đội tuyển Olympic Toán học các cấp.
Cấp và Bổ đề nâng lũy thừa Thầy Nguyễn Chu Gia Vượng Khái niệm cấp của một số nguyên modulo một số nguyên (nguyên tố cùng nhau với nó) là một khái niệm quan trọng trong số học. Bài giảng như vậy tập trung vào việc nghiên cứu cấu trúc nhân của các lớp đồng dư modulo một số nguyên n cho trước. Trong quá trình thiết lập cấu trúc nhân của tập hợp này, ta sẽ đi qua một số chủ đề quen thuộc với các bạn học sinh yêu toán phổ thông như: định lý Euler, sự tồn tại của căn nguyên thủy modulo một số nguyên cho trước, định lý các phần dư Trung Hoa, bổ đề nâng lũy thừa, v.v. Các bài tập kèm theo, với phong cách của các bài toán thi Olympíc, sẽ minh họa các ứng dụng của các khái niệm và các kết quả này. |